Mediatriz y circuncentro

Problema:

En una oficina, según el esquema, debe ubicarse un teléfono a igual distancia de los escritorios de  Andrea y de  Beatriz.  ¿Dónde lo ubicarías?

 

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a) ¿Cuántas soluciones al problema has encontrado?

Una nueva secretaria fue tomada en la oficina, Carla, a la que se le dio otro escritorio, pero Carla exigió que el teléfono también estuviera a igual distancia de ella.
b) ¿Será posible ubicar el teléfono a igual distancia de los tres escritorios?.

El problema se soluciona mediante la construcción de mediatrices y hallando sus puntos de intersección.  Cuando se pretende encontrar puntos que estén a la misma distancia de los escritorios de Andrea y Beatriz, las soluciones son los infinitos puntos de la mediatriz del segmento AB, que estén dentro de la oficina, en este caso. Si no hubiera limitaciones de espacio servirían todos sus puntos. 
Luego se considera la mediatriz del segmento AC y de segmento BC, se podrá comprobar que las tres mediatrices construidas se cortan en un punto , determinándose así el circuncentro del triángulo ABC, o sea el punto que equidista de los tres vértices de un triángulo.

Conceptos considerados en la resolución del problema:

Definición de mediatriz de un segmento

 

mediatriz.gif

 

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan ( están a igual distancia) de los extremos del segmento. Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento.


Además cumple con la propiedad de ser  la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

 

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Construcción de la mediatriz de un segmento

Su trazado se realiza con regla y compás.

  • Se considera la circunferencia de centro A y un radio mayor a la mitad de la medida del
    segmento AB. En realidad se consideran arcos
     de esa circunferencia.
  • Se repite la construcción, pero ahora el centro será el punto B, se debe mantener la medida del radio.
  • Los puntos de intersección de ambas circunferencias determinan la mediatriz del segmento en cuestión.
trazado de mediatriz.png

Ejercicio:
En un triángulo cualquiera

  • Construye las mediatrices de los tres lados.
  • ¿Qué puedes decir acerca de su intersección?

 

Circuncentro de un triángulo

El punto de intersección de las mediatrices de un triángulo  se llama circuncentro y es el centro de su  circunferencia circunscrita

Mediatrices_de_un_triángulo.png

Recordemos que los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos de este, o sea que están a la misma distancia. Si consideramos el punto de corte de dos de las mediatrices de los lados de un triángulo, la tercera debe pasar por el mismo punto ya que:

 

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